兩個聽起來相似、但意義截然不同的概念
❌ 賭徒謬誤（Gambler's Fallacy）
「我已經連輸 10 次了，下次一定會贏！」
這是一種錯誤的直覺。每一局都是獨立事件，過去的結果不影響未來。硬幣不會記得它剛剛連續出現了幾次正面。
✅ 大數法則（Law of Large Numbers）
「玩的局數夠多，勝率會趨近理論值。」
這是正確的統計規律。並非因為「要補償之前的輸」，而是因為足夠多的樣本本就會收斂到真實機率。
為什麼人們會混淆這兩個概念？
大數法則說「長期下來結果會趨近理論值」，這讓人直覺地以為「所以短期的偏差之後一定會被補回來」——這個推論是錯的。
正確理解是：長期的收斂不是靠「補償」，而是靠「稀釋」。之前輸的局數在越來越多的總局數面前，比例會自然縮小。硬幣連出 10 次正面，再玩 10,000 次後，正面的比例仍會接近 50%，但不是因為之後特別容易出現反面。
用程式碼來理解獨立性
# 每次拋硬幣都是獨立事件
import random
results = []
for i in range(10000):
# 前一次的結果完全不影響這次
flip = random.choice(["正", "反"])
results.append(flip)
heads = results.count("正")
print(f"正面次數：{heads} / 10000 = {heads/10000:.2%}")
# → 約 50%，不是因為「補償」，而是樣本夠大🔬 在這個遊戲中驗證
選擇「有利」或「不利」模式，各跑 100 局觀察資金曲線——你會看到大數法則如何讓結果收斂到期望值，而不是哪一局決定了你的命運。
為什麼任何策略都無法打敗負期望值？
期望值（Expected Value）
期望值是「每次賭局平均會獲得（或損失）多少錢」的數學預測。計算方式：
只要期望值 < 0，任何下注策略長期下來都必然虧損——這是數學定律，不是運氣。
倍投法（Martingale）
每次輸就把賭注翻倍，理論上只要贏一次就能回本。現實問題：本金耗盡前，連敗就會爆倉。10 連敗需要押 1024 倍初始賭注。
費氏數列法
按費氏數列 1, 1, 2, 3, 5, 8… 下注，輸時前進、贏時後退。比倍投法溫和，但同樣無法突破負期望值的數學枷鎖。
固定比例法（Kelly）
每次押固定比例的本金（如 5%）。在有正期望值時最大化長期成長；在負期望值遊戲中只是「輸得比較慢」的策略。
各機率模式的期望值計算
# 公平模式 (50/50, 賠率 1:1) E = 0.5 × (+1) + 0.5 × (-1) = 0 # 期望值為 0 # 有利模式 (賠率 2:1，勝率 40%) E = 0.4 × (+2) + 0.6 × (-1) = +0.2 # 期望值 > 0 → 長期獲利 # 不利模式 (模擬輪盤，18/38 勝率) E = (18/38) × (+1) + (20/38) × (-1) ≈ -0.053 # 每押 1 元，平均損失 5.3 分 → 這就是「賭場優勢」