碎形之美：自然界中的遞迴結構

什麼是碎形？

碎形（Fractal）是一種「自相似」的幾何結構：放大任一部分，都能看到整體的縮小版。

自然界中的碎形例子：

Koch 雪花

從一段線段出發，中間三分之一換成一個等邊三角形，重複無限次。

function kochSegment(ctx, x1, y1, x2, y2, depth) {
  if (depth === 0) {
    ctx.moveTo(x1, y1);
    ctx.lineTo(x2, y2);
    return;
  }

  const dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
  const mx = x1 + dx / 3, my = y1 + dy / 3;
  const nx = x1 + 2 * dx / 3, ny = y1 + 2 * dy / 3;
  const px = mx + (dx / 3) * Math.cos(-Math.PI / 3)
           - (dy / 3) * Math.sin(-Math.PI / 3);
  const py = my + (dx / 3) * Math.sin(-Math.PI / 3)
           + (dy / 3) * Math.cos(-Math.PI / 3);

  kochSegment(ctx, x1, y1, mx, my, depth - 1);
  kochSegment(ctx, mx, my, px, py, depth - 1);
  kochSegment(ctx, px, py, nx, ny, depth - 1);
  kochSegment(ctx, nx, ny, x2, y2, depth - 1);
}

Barnsley 蕨

用「迭代函數系統（IFS）」只需 4 條仿射變換公式，就能產生逼真的蕨葉：

import random, math

def barnsley_fern(n=100000):
    x, y = 0, 0
    points = []
    for _ in range(n):
        r = random.random()
        if r < 0.01:
            x, y = 0, 0.16 * y
        elif r < 0.86:
            x, y = 0.85*x + 0.04*y, -0.04*x + 0.85*y + 1.6
        elif r < 0.93:
            x, y = 0.2*x - 0.26*y, 0.23*x + 0.22*y + 1.6
        else:
            x, y = -0.15*x + 0.28*y, 0.26*x + 0.24*y + 0.44
        points.append((x, y))
    return points

Mandelbrot 集合

最著名的碎形之一。對複數 c，反覆計算 z = z² + c，看 z 是否發散。

function mandelbrot(cx, cy, maxIter = 100) {
  let zx = 0, zy = 0, iter = 0;
  while (zx * zx + zy * zy <= 4 && iter < maxIter) {
    const newZx = zx * zx - zy * zy + cx;
    zy = 2 * zx * zy + cy;
    zx = newZx;
    iter++;
  }
  return iter;
}

前往碎形繪圖頁面，用互動 Canvas 繪製你自己的碎形！