為什麼換門勝率更高？蒙提霍爾問題完全解析

問題背景

1963 年，美國電視節目《Let's Make a Deal》的主持人 Monty Hall 設計了一個遊戲： 三扇門後面，一扇藏有大獎，另外兩扇是空的。

遊戲流程：你選一扇門 → 主持人打開一扇「確定是空的門」→ 你可以換或不換。

直覺上，換不換都是 50% 吧？錯了。

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條件機率的解釋

第一次選門

你有 1/3 的機率選到大獎，2/3 的機率選到空門。

主持人的動作

主持人是「全知的」，他只會打開「非你選、且是空的門」。

• 如果你選到了大獎門（1/3）：主持人隨機打開剩下兩扇空門之一
• 如果你選到了空門（2/3）：主持人只能打開另一扇空門，大獎就在你換的那扇

換門勝率 = 2/3 ≈ 67%，不換勝率 = 1/3 ≈ 33%。

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用程式驗證

import random

def simulate(n_games=100000, switch=True):
    wins = 0
    for _ in range(n_games):
        doors = [0, 0, 1]  # 1 = prize
        random.shuffle(doors)
        choice = random.randint(0, 2)

        # 主持人打開一扇空門
        host_opens = next(
            i for i in range(3) if i != choice and doors[i] == 0
        )

        if switch:
            choice = next(i for i in range(3) if i not in [choice, host_opens])

        if doors[choice] == 1:
            wins += 1

    return wins / n_games

print(f"換門勝率：{simulate(switch=True):.1%}")   # ~66.7%
print(f"不換勝率：{simulate(switch=False):.1%}")  # ~33.3%

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結論

這個問題告訴我們：直覺並不等於正確。數學和程式模擬是驗真假的最佳工具。 前往互動遊戲頁面親自體驗，累計數百次後你會看到機率慢慢收斂到 2/3！